LINGKARAN
Ø Definisi
Lingkaran adalah tempat keduukan titik-titik yang mempunyai jarak sama
terhadap sebuah titik tertentu.
Jarak yang sama disebut radius (jari-jari)
Titik tertentu disebut Pusat
Ø Persamaan Lingkaran dengan Pusat L (α,β)
y
P(x,
y)
0
x
PL = R
= R
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (α,
β)
adalah
|
|
 ===
|
|
jika pusat lingkaran O (0,0) maka α =
0;β =
0, maka persamaan lingkaran dengan pusat lingkaran ( 0, 0) adalah
jika lingkaran diuraikan , maka :
X2 + y2 + Ax + By + C
= 0
|
|
Dimisalakan : -2α = A
-2β = B didapat :
Ø Pusat lingkaran
Dari
pemisalan diatas
-2α = A → α =-
A didapat :
pusat lingkaran
(- 
|
|
-2β = B → β =
- 
B
Ø Radius
α² + β² - R² = C
R² = α² + β² - C
R =  
|
|
Ø Catatan
1. Persamaan parameter (perantara)
lingkungan dengan pusat (0,0)
X = R cos θ
Y = R sin θ
Bukti :
X = R cos θ
→ x² = R² cos²θ
Y = R sin θ → y² = R
² sin²θ
x² + y² = R² (cos²θ + sin²θ)
x² + y² = R² . 1
x² + y² = R² (terbukti)
2. Persamaan parameter lingkaran dengan pusat L
(α,β)
X = α + R
cos θ
Y = β + R
sin θ
Bukti :
X = α + R
cos θ → x² = α² + 2α R cos θ + R² cos² θ
Y = β + R sin θ → y² = β² + 2β R sin θ + R²
sin² θ
x² + y² = α² + β² + 2α R cos θ + 2β R sin θ +
R² cos² θ + R² sin² θ
x² + y² = α² + β² +2α (x-α) + 2β(y-β) + R²
(cos² θ + sin² θ)
x² + y² = α² + β² + 2α x -2α² + 2β y - 2β² +
R² . 1
x² + y² + α² + β² - 2α x - 2β y = R²
x² - 2α x + α² + y² - 2β y + β² = R²
(x – α)² + (y – β)² = R² (terbukti)
Contoh :
1.Tentukan
pusat dan radius lingkaran x² + y² - 6x + 8y - 15 = 0
Jawab :
x² +y² - 6x + 8y – 15 = 0
A = -6
B = 8
C = -15
Pusat (
) → Pusat ( 3,-4)
R = 
=
=
=2
Cara lain →
dari rumus pq → x² + px ± q
(x + p)² = q + ( p)²
x² + y² -6x + 8y – 15 = 0
(x² - 6x) + (y² + 8y) = 0
(x – 3)² + (y + 4)² = 15 + 3² + 4²
(x – 3)² + (y + 4)² = 40
Pusat
(3,-4)
R =
= 
2. Tentukan
persamaan lingkaran yang melalui titik A (3,4), B (3,-2) dan C (6,1)
Jawab
:
Misal
Lingkaran L= x² + y² +Ax +Bx + C = 0
Melalui A
(3,1) → 9 + 16 + 3A + 4B + C = 0
3A + 4B + C = -25...................(1)
Melalui B (3,-2) → 9 + 4 + 3A – 2B + C =0
3A – 2B + C = -13...................(2)
Melalui C (6,1) → 36 + 1 + 6A + B + C = 0
6A + B + C =
-37.....................(3)
(1) 3A + 4B + C = -25
(2) 
3A – 2B + C = -13 -
6B = -12 → B = -2
(1) 3A + 4B + C = -25
(2) 6A +
B + C = -37 -
-3A + 3B = 12
B= -2 → -3A – 6 = 12
-3A = 18 → A = -6
Dari hasil
diatas disubtitusikan ke persamaan (1)
A = -6 ; B =
-2
3A + 4B + C
= -25.................(1)
3(-6) +
4(-2) + C =-25
-18 -8 + C = -25
C = -25 + 26 →
C = 1
Jadi,Lingkaran
L = x² + y² - 6x – 2y + 1 = 0
Ø Garis Singgung Lingkaran
Pandang
garis g≡ y = mx + c
Lingkaran L ≡ x² + y² = R²
Jika g
dipotong lingkaran L :
x² + (mx + c)² = R²
x² +m²x² +2mcx + c² + -R² = 0
(1 + m²)x² + 2mcx + (c² - R²) = 0
Persamaan kuadrat dalam X :
1. Jika D
> 0 maka ada 2 harga x yang berbeda,berarti garis memotong lingkaran pada
dua titik.
2. Jika D =
0 maka ada 2 harga x yang kembar (x₁
= x₂ ) berarti garis g menyinggung lingkaran.
3. Jika D < 0 maka harga x
imajiner.berarti garis g diluar lingkaran.
Jadi,syarat garis menyinggung
lingkaran adalah D = 0
D = 0 → b² - 4ac= 0
(2mc)²
- 4 (1 + m²) (c² - R²) = 0
4m²c²
- 4c² - 4m²c² + 4R² + 4m²R² = 0
c²
= R² + R²m²
c²
= R² + (1 + m²)
c
= ± R 
Jadi persamaan garis singgung
lingkaran x² + y² = R²
|
|
y = m x ± R 
|
|
Ø Garis singgung lingkaran (x – α)² + (y + β) = R² dengan gradien m
adalah :
|
|
(y – β) = m (x – α) ± R 
|
|
Bukti :
Garis g ≡ y = mx + c
L ≡ (x – α)² + (y – β) = R
Garis g dipotongkan
lingkaran L :
(x – α) + (mx + c –β)² = R²
x² - 2αx + α² + m²x² + c² + β² +2mcx _ 2mβx - 2βc - R² = 0
(1 + m²) x² - (2α – 2mc +2mβ) x + (α² + c² + β² -2βx - 2βc - R² = 0
Syarat menyinggung D =
0
→
(2α – 2mc + 2 mβ)² + 4 (1 + m²) (α² + c² + β² - 2βα – R)=0
→
4α² + 4m²c² + 4m²β² + 8 mαc + 8mαβ – 8m²βc - 4α² - 4m² - 4c² - 4m²c²
-4β² - 4m²β² + 8 βc + 8m²βc + 4R² + 4m²R²
= 0
→
8mαc – 8mαβ +4m²α² + 4c² + 4β² - 8βc = 4R² + 4m²R²
→
m²α² + c² + β² + 2mαc + 2mαβ - 2βc = R² (1 + m²)
→
(mα + c – β)² = R² (1 + m²)
→
(mα + c – β) = ± R 
C = -mα + β + R 
Jadi garis singgung g ≡ y = mx +
c
Y = mx – mα + β + R 
(y – β) = m (x –α) ± R 
(terbukti)
|
|
Jadi (y – β) = m (x –α) ± R 
|
|
